소수의 제곱근을 검사하여 소수인지 확인하는 이유는 무엇입니까?
숫자가 소수인지 테스트하려면 왜 그 숫자의 제곱근까지만 나눌 수 있는지 테스트해야합니까?
숫자가있는 경우 n주요 아니라,이 두 가지 요소로 고려 될 수 a및 b:
n = a * b
양쪽 모두 a와 b의 제곱근보다 큰했다 n후, a * b보다 큰 것이다 n. 따라서 이러한 요인 중 적어도 하나는의 제곱근 n보다 작거나 같아야하며, 제곱근 이하의 요인을 찾을 수 없으면 n소수 여야합니다.
m = sqrt(n)그때 말해 보자 m × m = n. 이제 경우는 n다음 주요 아닙니다 n같이 쓸 수있다 n = a × b그래서 m × m = a × b. 공지 사항 m반면 실수입니다 n, a그리고 b자연의 번호입니다.
이제 3 가지 경우가 있습니다 :
- a> m ⇒ b <m
- a = m ⇒ b = m
- a <m ⇒ b> m
세 경우 모두 min(a, b) ≤ m. 따라서까지 검색하면 m적어도 하나의 요소를 찾아야합니다 n. 이는 n소수가 아님 을 보여주기에 충분합니다 .
요인이 n의 제곱근보다 크면 n과 같게 곱할 다른 요인은 반드시 n의 제곱근보다 작아야합니다.
더 직관적 인 설명은 다음과 같습니다.
100의 제곱근은 10입니다. a와 b의 다양한 쌍에 대해 axb = 100이라고합시다.
a == b이면, 그것들은 동일하며 정확히 100의 제곱근입니다. 10입니다.
그들 중 하나가 10보다 작 으면, 다른 하나는 더 커야합니다. 예를 들어 5 x 20 == 100입니다. 하나는 10보다 크고 다른 하나는 10보다 작습니다.
axb에 대해 생각할 때, 그중 하나가 고장 나면 다른 하나는 보상하기 위해 더 커져야하므로 제품은 100을 유지합니다. 그들은 제곱근을 중심으로 회전합니다.
101의 제곱근은 약 10.049875621입니다. 따라서 숫자 101을 우선 순위로 테스트하는 경우 10을 포함하여 10에서 10까지의 정수만 시도하면됩니다. 그러나 8, 9 및 10은 소수가 아니므로 7까지만 테스트하면됩니다. 초기.
하나의 숫자가 10보다 큰 요인 쌍이있는 경우 다른 쌍은 10보다 작아야합니다. 더 작은 요소가 존재하지 않으면 일치하는 더 큰 계수 101이 없습니다.
121을 테스트하는 경우 제곱근은 11입니다. 소수가 1에서 11까지 (포함) 포함되어 있는지 확인해야합니다. 11은 11 번 들어가므로 121은 소수가 아닙니다. 10시에 멈췄지만 11 번은 테스트하지 않았다면 11 번을 놓쳤을 것입니다.
홀수 만 테스트한다고 가정 할 때 2보다 크지 만 제곱근 이하인 모든 소수를 테스트해야합니다.
`
n소수 (1보다 큰 숫자)가 아니라고 가정하십시오 . 그래서이 번호는 a하고 b그러한
n = ab (1 < a <= b < n)
관계를 곱 a<=b에 의해 a그리고 b우리가 얻을 :
a^2 <= ab
ab <= b^2
따라서 : (참고 n=ab)
a^2 <= n <= b^2
따라서 (주 a및 b긍정적)
a <= sqrt(n) <= b
따라서 숫자 (1보다 큰)가 소수가 아니고 그 수의 제곱근까지의 분할 성을 테스트하면 요인 중 하나를 찾을 수 있습니다.
그것은 모두 인수 분해와 제곱근의 기본 용도입니다.
추상적 인 것처럼 보이지만 실제로는 비 프라임 숫자의 최대 계승이 다음과 같은 이유로 제곱근이어야한다는 사실에 있습니다.
sqrroot(n) * sqrroot(n) = n.
위의 모든 정수 경우, 점을 감안 1이하 또는 최대 sqrroot(n)균등에 분할은 n다음 n소수가 될 수 없습니다.
의사 코드 예 :
i = 2;
is_prime = true;
while loop (i <= sqrroot(n))
{
if (n % i == 0)
{
is_prime = false;
exit while;
}
++i;
}
주어진 정수 N가 소수가 아니라고 가정 해 봅시다 .
이어서 N은 두 가지 요인으로 인수 분해 가능 a하고 b, 2 <= a, b < N되도록 N = a*b. 분명히, 둘 다 sqrt(N)동시에 보다 클 수는 없습니다 .
일반성을 잃지 않고 a더 작은 것으로 가정합시다 .
이제 N범위 에 속하는 제수를 찾을 수 없다면 [2, sqrt(N)]무엇을 의미합니까?
이 수단 N에있는 약수가없는 [2, a]등을 a <= sqrt(N).
따라서, a = 1및 b = n따라서 정의에 의해, N소수 .
...
당신이 만족하지 않으면 더 읽을 거리 :
많은 다른 조합이 (a, b)가능할 수 있습니다. 그들이 있다고 가정 해 봅시다.
(a 1 , b 1 ), (a 2 , b 2 ), (a 3 , b 3 ), ....., (a k , b k ). 일반성을 잃지 않으면 서 i <b i , 이라고 가정하십시오 1<= i <=k.
이제 N소수가 아니라는 것을 보여줄 수 있다면 i 를 더 이상 분해 할 수 없다는 것을 보여주는 것으로 충분합니다 . 그리고 우리는 또한 i <= sqrt(N)이므로 sqrt(N)모든 i를 덮을 때까지 확인해야 한다는 것을 알고 있습니다. 따라서 당신 N은 소수 인지 결론을 내릴 수 있습니다 .
...
따라서 숫자 N이 소수인지 여부를 확인하십시오. N이 숫자 <= SQROOT (N)으로 나눌 수 있는지 확인하기 만하면됩니다. 왜냐하면 우리가 N을 X와 Y라고하는 두 가지 요소로 고려한다면, 즉. N = X Y. X와 Y는 각각 SQROOT (N)보다 작을 수 없으며, X Y <N이므로 X와 Y는 각각 SQROOT (N)보다 클 수 없습니다. X * Y> N
따라서 한 요인은 SQROOT (N)보다 작거나 같아야합니다 (다른 요인은 SQROOT (N) 이상). 따라서 N이 소수인지 확인하려면 숫자 <= SQROOT (N) 만 확인하면됩니다.
소수가 아닌 숫자 "a"가 있다고 가정합시다. [소수 / 복합 수는-1 이외의 숫자로 균등하게 나눌 수있는 숫자를 의미합니다. 예를 들어, 6은 2 또는 3, 1 또는 6으로 균등하게 나눌 수 있습니다].
6 = 1 × 6 또는 6 = 2 × 3
이제 "a"가 소수가 아닌 경우 다른 두 숫자로 나눌 수 있으며 해당 숫자가 "b"와 "c"라고 가정하겠습니다. 어떤 의미
a = b * c.
이제 "b"또는 "c"인 경우 "a"보다 "b"& "c"의 곱셈보다 "a"의 제곱근보다 큽니다.
따라서 "a", "c"는 방정식 "a = b * c"를 증명하기 위해 항상 "="의 제곱근입니다.
위의 이유로 인해 숫자가 소수인지 테스트 할 때 해당 숫자의 제곱근까지만 확인합니다.
n을 프라임이 아닌 것으로 보자. 따라서, 1보다 큰 정수 인자가 2 개 이상 있습니다. f는 n의 이러한 인자 중 가장 작습니다. f> sqrt n이라고 가정하십시오. 그러면 n / f는 정수 LTE sqrt n이므로 f보다 작습니다. 따라서 f는 n의 가장 작은 요소가 될 수 없습니다. 레덕 디오 아드 두르 덤; n의 가장 작은 요소는 LTE sqrt n이어야합니다.
숫자가 주어지면 n요인을 찾는 한 가지 방법은 제곱근을 얻는 것입니다 p.
sqrt(n) = p
물론, 우리 p가 스스로 곱 하면 다시 돌아옵니다 n.
p*p = n
다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
a*b = n
어디 p = a = b. 경우 a가 증가하고 b유지하기 위해 감소한다 a*b = n. 따라서 p상한입니다.
숫자 n 의 우선 성을 테스트하기 위해 , 우선 다음과 같은 루프를 기대합니다.
bool isPrime = true;
for(int i = 2; i < n; i++){
if(n%i == 0){
isPrime = false;
break;
}
}
위의 루프가하는 것은 이것입니다 : 주어진 1 <i <n에 대해 , n / i가 정수인지 확인합니다 (나머지는 0을 남겨 둡니다). 만약 n / i가 정수인 i가 존재한다면, 우리는 n이 소수가 아니라는 것을 확신 할 수 있으며, 이때 루프가 종료된다. i가없는 경우 n / i는 정수이고 n은 소수입니다.
모든 알고리즘과 마찬가지로, 우리는 질문 : 우리가 더 잘 할 수 있습니까?
위 루프에서 무슨 일이 일어나는지 보자.
i의 순서는 다음과 같습니다. i = 2, 3, 4, ..., n-1
그리고 정수 검사 순서는 다음과 같습니다 : j = n / i, n / 2, n / 3, n / 4, ..., n / (n-1)
일부 i = a의 경우 n / a가 정수이면 n / a = k (정수)
또는 n = ak, 명확하게 n> k> 1 (k = 1이면 a = n이지만 i는 절대 n에 도달하지 않음; k = n이면 a = 1이지만 i는 형태 2를 시작 함)
또한, n / k = a이고, 위에서 언급 한 바와 같이, a는 i> n> 1의 값이다.
따라서 a와 k는 모두 1과 n 사이의 정수입니다 (제외). 따라서 i는 해당 범위의 모든 정수, 일부 반복 i = a 및 다른 반복 i = k에 도달합니다. n의 원시성 테스트가 min (a, k)에 대해 실패하면 max (a, k)에 대해서도 실패합니다. 따라서 min (a, k) = max (a, k) (두 검사가 하나로 감소하는 경우), 즉 a = k가 아니라면이 두 경우 중 하나만 확인하면됩니다. a = sqrt (n)을 의미합니다.
다시 말해, n의 원시성 테스트가 i> = sqrt (n) (즉, max (a, k))에 대해 실패하면, 일부 i <= n에 대해서도 실패합니다 (즉, min (a ,케이)). 따라서 i = 2에서 sqrt (n)에 대한 테스트를 실행하면 충분합니다.
모든 복합 번호는 소수의 곱입니다.
n = p1 * p2어디에 p2 > p1, 그리고 소수 라고 말합시다 .
만약 n % p1 === 0다음 N 복합 수이다.
그렇다면 n % p2 === 0무엇을 추측하십시오 n % p1 === 0!
그래서 방법이 없습니다 그 경우 n % p2 === 0하지만 n % p1 !== 0같은 시간에. 다시 말해서, 합성 수 n 이 p2, p3 ... pi (가장 큰 요소) 로 균등하게 나눌 수 있다면 가장 낮은 요소 p1 으로 나눠 져야합니다 . 가장 낮은 요소 p1 <= Math.square(n)는 항상 사실입니다.
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