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동적 프로그래밍을 사용하여 가장 긴 하위 시퀀스를 결정하는 방법은 무엇입니까?
정수 세트가 있습니다. 동적 프로그래밍을 사용하여 해당 세트 의 가장 긴 하위 시퀀스 를 찾고 싶습니다 .
먼저 가장 간단한 솔루션 인 O (N ^ 2)를 설명하겠습니다. 여기서 N은 컬렉션의 크기입니다. O (N log N) 솔루션도 있는데, 이것도 설명하겠습니다. 봐 여기 섹션 효율적인 알고리즘에 그것을합니다.
배열의 인덱스가 0에서 N-1 사이라고 가정하겠습니다. 따라서 DP[i]index가있는 element에서 끝나는 LIS (Longest 증가하는 서브 시퀀스)의 길이로 정의하겠습니다 i. 계산하기 위해 DP[i]우리는 모든 지수를보고 j < i그리고 만약 ( DP[j] + 1 > DP[i]그리고 array[j] < array[i]증가하고 싶어하는지)을 확인합니다. 이것이 사실이라면에 대한 현재 최적을 업데이트 할 수 있습니다 DP[i]. 배열에 대한 전역 최적을 찾으려면에서 최대 값을 사용할 수 있습니다 DP[0...N - 1].
int maxLength = 1, bestEnd = 0;
DP[0] = 1;
prev[0] = -1;
for (int i = 1; i < N; i++)
{
DP[i] = 1;
prev[i] = -1;
for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
if (DP[j] + 1 > DP[i] && array[j] < array[i])
{
DP[i] = DP[j] + 1;
prev[i] = j;
}
if (DP[i] > maxLength)
{
bestEnd = i;
maxLength = DP[i];
}
}
prev나중에 길이뿐만 아니라 실제 시퀀스를 찾을 수 있도록 배열 을 사용합니다 . 를 bestEnd사용하여 루프에서 재귀 적으로 돌아가십시오 prev[bestEnd]. -1값은 정지 표시이다.
이제 더 효율적인 O(N log N)솔루션 으로 넘어가십시오.
LET S[pos]길이의 증가 순서를 종료 최소 정수로 정의된다 pos. 이제 X입력 세트의 모든 정수 를 반복 하고 다음을 수행하십시오.
X>에서 마지막 요소 인 경우 의 끝에S추가하십시오 . 이 본질적인 것은 우리가 새로운 가장 큰 것을 찾았 음을 의미 합니다.XSLIS그렇지 않으면에서 가장 작은 요소 발견
S하고,>=보다를X, 그리고로 변경X.S언제든 정렬 되므로 에서 이진 검색을 사용하여 요소를 찾을 수 있습니다log(N).
총 런타임- N정수 및 각각에 대한 이진 검색-N * log (N) = O (N log N)
이제 실제 예제를 보자 :
정수 수집 : 2 6 3 4 1 2 9 5 8
단계 :
0. S = {} - Initialize S to the empty set
1. S = {2} - New largest LIS
2. S = {2, 6} - New largest LIS
3. S = {2, 3} - Changed 6 to 3
4. S = {2, 3, 4} - New largest LIS
5. S = {1, 3, 4} - Changed 2 to 1
6. S = {1, 2, 4} - Changed 3 to 2
7. S = {1, 2, 4, 9} - New largest LIS
8. S = {1, 2, 4, 5} - Changed 9 to 5
9. S = {1, 2, 4, 5, 8} - New largest LIS
따라서 LIS의 길이는 5(S의 크기)입니다.
실제를 재구성하기 위해 LIS다시 부모 배열을 사용합니다. 하자 parent[i]인덱스 요소의 전신이 될 i에서 LIS인덱스 요소에서 결말 i.
일을 더 간단하게하기 위해 S실제 정수가 아니라 세트의 인덱스 (위치)에 배열을 유지할 수 있습니다 . 우리는 유지하지 않고 유지 {1, 2, 4, 5, 8}합니다 {4, 5, 3, 7, 8}.
즉 input [4] = 1 , input [5] = 2 , input [3] = 4 , input [7] = 5 , input [8] = 8 입니다.
부모 배열을 올바르게 업데이트하면 실제 LIS는 다음과 같습니다.
input[S[lastElementOfS]],
input[parent[S[lastElementOfS]]],
input[parent[parent[S[lastElementOfS]]]],
........................................
이제 중요한 것은 부모 배열을 어떻게 업데이트합니까? 두 가지 옵션이 있습니다.
만약
X>의 마지막 요소S다음parent[indexX] = indexLastElement. 이것은 최신 요소의 부모가 마지막 요소임을 의미합니다. 우리는 단지X끝에 끝S.그렇지 않으면에서 가장 작은 요소의 인덱스 찾을 수
S있습니다,>=보다를X, 그리고로 변경X. 이곳까지parent[indexX] = S[index - 1].
Petar Minchev의 설명은 나를 위해 명확하게 도움이되었지만 모든 것이 무엇인지 파싱하기가 어려웠으므로 지나치게 설명이 쉬운 변수 이름과 많은 주석으로 Python을 구현했습니다. 순진한 재귀 솔루션, O (n ^ 2) 솔루션 및 O (n log n) 솔루션을 수행했습니다.
알고리즘을 정리하는 데 도움이되기를 바랍니다.
재귀 솔루션
def recursive_solution(remaining_sequence, bigger_than=None):
"""Finds the longest increasing subsequence of remaining_sequence that is
bigger than bigger_than and returns it. This solution is O(2^n)."""
# Base case: nothing is remaining.
if len(remaining_sequence) == 0:
return remaining_sequence
# Recursive case 1: exclude the current element and process the remaining.
best_sequence = recursive_solution(remaining_sequence[1:], bigger_than)
# Recursive case 2: include the current element if it's big enough.
first = remaining_sequence[0]
if (first > bigger_than) or (bigger_than is None):
sequence_with = [first] + recursive_solution(remaining_sequence[1:], first)
# Choose whichever of case 1 and case 2 were longer.
if len(sequence_with) >= len(best_sequence):
best_sequence = sequence_with
return best_sequence
O (n ^ 2) 동적 프로그래밍 솔루션
def dynamic_programming_solution(sequence):
"""Finds the longest increasing subsequence in sequence using dynamic
programming. This solution is O(n^2)."""
longest_subsequence_ending_with = []
backreference_for_subsequence_ending_with = []
current_best_end = 0
for curr_elem in range(len(sequence)):
# It's always possible to have a subsequence of length 1.
longest_subsequence_ending_with.append(1)
# If a subsequence is length 1, it doesn't have a backreference.
backreference_for_subsequence_ending_with.append(None)
for prev_elem in range(curr_elem):
subsequence_length_through_prev = (longest_subsequence_ending_with[prev_elem] + 1)
# If the prev_elem is smaller than the current elem (so it's increasing)
# And if the longest subsequence from prev_elem would yield a better
# subsequence for curr_elem.
if ((sequence[prev_elem] < sequence[curr_elem]) and
(subsequence_length_through_prev >
longest_subsequence_ending_with[curr_elem])):
# Set the candidate best subsequence at curr_elem to go through prev.
longest_subsequence_ending_with[curr_elem] = (subsequence_length_through_prev)
backreference_for_subsequence_ending_with[curr_elem] = prev_elem
# If the new end is the best, update the best.
if (longest_subsequence_ending_with[curr_elem] >
longest_subsequence_ending_with[current_best_end]):
current_best_end = curr_elem
# Output the overall best by following the backreferences.
best_subsequence = []
current_backreference = current_best_end
while current_backreference is not None:
best_subsequence.append(sequence[current_backreference])
current_backreference = (backreference_for_subsequence_ending_with[current_backreference])
best_subsequence.reverse()
return best_subsequence
O (n log n) 동적 프로그래밍 솔루션
def find_smallest_elem_as_big_as(sequence, subsequence, elem):
"""Returns the index of the smallest element in subsequence as big as
sequence[elem]. sequence[elem] must not be larger than every element in
subsequence. The elements in subsequence are indices in sequence. Uses
binary search."""
low = 0
high = len(subsequence) - 1
while high > low:
mid = (high + low) / 2
# If the current element is not as big as elem, throw out the low half of
# sequence.
if sequence[subsequence[mid]] < sequence[elem]:
low = mid + 1
# If the current element is as big as elem, throw out everything bigger, but
# keep the current element.
else:
high = mid
return high
def optimized_dynamic_programming_solution(sequence):
"""Finds the longest increasing subsequence in sequence using dynamic
programming and binary search (per
http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence). This solution
is O(n log n)."""
# Both of these lists hold the indices of elements in sequence and not the
# elements themselves.
# This list will always be sorted.
smallest_end_to_subsequence_of_length = []
# This array goes along with sequence (not
# smallest_end_to_subsequence_of_length). Following the corresponding element
# in this array repeatedly will generate the desired subsequence.
parent = [None for _ in sequence]
for elem in range(len(sequence)):
# We're iterating through sequence in order, so if elem is bigger than the
# end of longest current subsequence, we have a new longest increasing
# subsequence.
if (len(smallest_end_to_subsequence_of_length) == 0 or
sequence[elem] > sequence[smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]]):
# If we are adding the first element, it has no parent. Otherwise, we
# need to update the parent to be the previous biggest element.
if len(smallest_end_to_subsequence_of_length) > 0:
parent[elem] = smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]
smallest_end_to_subsequence_of_length.append(elem)
else:
# If we can't make a longer subsequence, we might be able to make a
# subsequence of equal size to one of our earlier subsequences with a
# smaller ending number (which makes it easier to find a later number that
# is increasing).
# Thus, we look for the smallest element in
# smallest_end_to_subsequence_of_length that is at least as big as elem
# and replace it with elem.
# This preserves correctness because if there is a subsequence of length n
# that ends with a number smaller than elem, we could add elem on to the
# end of that subsequence to get a subsequence of length n+1.
location_to_replace = find_smallest_elem_as_big_as(sequence, smallest_end_to_subsequence_of_length, elem)
smallest_end_to_subsequence_of_length[location_to_replace] = elem
# If we're replacing the first element, we don't need to update its parent
# because a subsequence of length 1 has no parent. Otherwise, its parent
# is the subsequence one shorter, which we just added onto.
if location_to_replace != 0:
parent[elem] = (smallest_end_to_subsequence_of_length[location_to_replace - 1])
# Generate the longest increasing subsequence by backtracking through parent.
curr_parent = smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]
longest_increasing_subsequence = []
while curr_parent is not None:
longest_increasing_subsequence.append(sequence[curr_parent])
curr_parent = parent[curr_parent]
longest_increasing_subsequence.reverse()
return longest_increasing_subsequence
DP 솔루션에 대해 말하면, LIS가 LCS 로 축소 될 수 있다는 사실을 언급 한 사람이 아무도 없다는 것이 놀랍습니다 . 원본 시퀀스의 사본을 정렬하고 모든 복제본을 제거하고 LCS를 수행하기 만하면됩니다. 의사 코드에서는 다음과 같습니다.
def LIS(S):
T = sort(S)
T = removeDuplicates(T)
return LCS(S, T)
그리고 Go로 작성된 전체 구현. 솔루션을 재구성 할 필요가없는 경우 n ^ 2 DP 매트릭스 전체를 유지할 필요가 없습니다.
func lcs(arr1 []int) int {
arr2 := make([]int, len(arr1))
for i, v := range arr1 {
arr2[i] = v
}
sort.Ints(arr1)
arr3 := []int{}
prev := arr1[0] - 1
for _, v := range arr1 {
if v != prev {
prev = v
arr3 = append(arr3, v)
}
}
n1, n2 := len(arr1), len(arr3)
M := make([][]int, n2 + 1)
e := make([]int, (n1 + 1) * (n2 + 1))
for i := range M {
M[i] = e[i * (n1 + 1):(i + 1) * (n1 + 1)]
}
for i := 1; i <= n2; i++ {
for j := 1; j <= n1; j++ {
if arr2[j - 1] == arr3[i - 1] {
M[i][j] = M[i - 1][j - 1] + 1
} else if M[i - 1][j] > M[i][j - 1] {
M[i][j] = M[i - 1][j]
} else {
M[i][j] = M[i][j - 1]
}
}
}
return M[n2][n1]
}
다음 C ++ 구현에는 이라는 배열을 사용하여 실제로 가장 오래 걸리는 하위 시퀀스 를 작성하는 코드도 포함되어 있습니다 prev.
std::vector<int> longest_increasing_subsequence (const std::vector<int>& s)
{
int best_end = 0;
int sz = s.size();
if (!sz)
return std::vector<int>();
std::vector<int> prev(sz,-1);
std::vector<int> memo(sz, 0);
int max_length = std::numeric_limits<int>::min();
memo[0] = 1;
for ( auto i = 1; i < sz; ++i)
{
for ( auto j = 0; j < i; ++j)
{
if ( s[j] < s[i] && memo[i] < memo[j] + 1 )
{
memo[i] = memo[j] + 1;
prev[i] = j;
}
}
if ( memo[i] > max_length )
{
best_end = i;
max_length = memo[i];
}
}
// Code that builds the longest increasing subsequence using "prev"
std::vector<int> results;
results.reserve(sz);
std::stack<int> stk;
int current = best_end;
while (current != -1)
{
stk.push(s[current]);
current = prev[current];
}
while (!stk.empty())
{
results.push_back(stk.top());
stk.pop();
}
return results;
}
스택이없는 구현은 벡터를 반대로 뒤집습니다.
#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
std::vector<int> LIS( const std::vector<int> &v ) {
auto sz = v.size();
if(!sz)
return v;
std::vector<int> memo(sz, 0);
std::vector<int> prev(sz, -1);
memo[0] = 1;
int best_end = 0;
int max_length = std::numeric_limits<int>::min();
for (auto i = 1; i < sz; ++i) {
for ( auto j = 0; j < i ; ++j) {
if (s[j] < s[i] && memo[i] < memo[j] + 1) {
memo[i] = memo[j] + 1;
prev[i] = j;
}
}
if(memo[i] > max_length) {
best_end = i;
max_length = memo[i];
}
}
// create results
std::vector<int> results;
results.reserve(v.size());
auto current = best_end;
while (current != -1) {
results.push_back(s[current]);
current = prev[current];
}
std::reverse(results.begin(), results.end());
return results;
}
다음은 동적 프로그래밍 관점에서 문제를 평가하는 세 단계입니다.
- 반복 정의 : maxLength (i) == 1 + maxLength (j) 여기서 0 <j <i 및 array [i]> array [j]
- 반복 매개 변수 경계 : 매개 변수로 전달 된 0-i-1 개의 서브 시퀀스가있을 수 있습니다.
- 평가 순서 : 하위 시퀀스가 증가함에 따라 0에서 n으로 평가되어야합니다.
인덱스에서 시퀀스 {0, 8, 2, 3, 7, 9}를 예로 들면 다음과 같습니다.
- [0] 기본 시퀀스로 하위 시퀀스 {0}을 얻습니다.
- [1] 1 개의 새로운 하위 시퀀스 {0, 8}이 있습니다.
- [2] 인덱스 2의 요소를 기존 하위 시퀀스에 추가하여 두 개의 새 시퀀스 {0, 8, 2} 및 {0, 2}를 평가하려고합니다. 하나만 유효하므로 세 번째 가능한 시퀀스 {0, 2} 만 추가 파라미터 목록으로 ...
작동하는 C ++ 11 코드는 다음과 같습니다.
#include <iostream>
#include <vector>
int getLongestIncSub(const std::vector<int> &sequence, size_t index, std::vector<std::vector<int>> &sub) {
if(index == 0) {
sub.push_back(std::vector<int>{sequence[0]});
return 1;
}
size_t longestSubSeq = getLongestIncSub(sequence, index - 1, sub);
std::vector<std::vector<int>> tmpSubSeq;
for(std::vector<int> &subSeq : sub) {
if(subSeq[subSeq.size() - 1] < sequence[index]) {
std::vector<int> newSeq(subSeq);
newSeq.push_back(sequence[index]);
longestSubSeq = std::max(longestSubSeq, newSeq.size());
tmpSubSeq.push_back(newSeq);
}
}
std::copy(tmpSubSeq.begin(), tmpSubSeq.end(),
std::back_insert_iterator<std::vector<std::vector<int>>>(sub));
return longestSubSeq;
}
int getLongestIncSub(const std::vector<int> &sequence) {
std::vector<std::vector<int>> sub;
return getLongestIncSub(sequence, sequence.size() - 1, sub);
}
int main()
{
std::vector<int> seq{0, 8, 2, 3, 7, 9};
std::cout << getLongestIncSub(seq);
return 0;
}
다음은 O (n ^ 2) 알고리즘의 스칼라 구현입니다.
object Solve {
def longestIncrSubseq[T](xs: List[T])(implicit ord: Ordering[T]) = {
xs.foldLeft(List[(Int, List[T])]()) {
(sofar, x) =>
if (sofar.isEmpty) List((1, List(x)))
else {
val resIfEndsAtCurr = (sofar, xs).zipped map {
(tp, y) =>
val len = tp._1
val seq = tp._2
if (ord.lteq(y, x)) {
(len + 1, x :: seq) // reversely recorded to avoid O(n)
} else {
(1, List(x))
}
}
sofar :+ resIfEndsAtCurr.maxBy(_._1)
}
}.maxBy(_._1)._2.reverse
}
def main(args: Array[String]) = {
println(longestIncrSubseq(List(
0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15)))
}
}
다음은 또 다른 O (n ^ 2) JAVA 구현입니다. 실제 하위 시퀀스를 생성하기위한 재귀 / 메모리가 없습니다. 모든 단계에서 실제 LIS를 저장하는 문자열 배열과 각 요소의 LIS 길이를 저장하는 배열입니다. 꽤 쉬운 일입니다. 보세요 :
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
/**
* Created by Shreyans on 4/16/2015
*/
class LNG_INC_SUB//Longest Increasing Subsequence
{
public static void main(String[] args) throws Exception
{
BufferedReader br=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
System.out.println("Enter Numbers Separated by Spaces to find their LIS\n");
String[] s1=br.readLine().split(" ");
int n=s1.length;
int[] a=new int[n];//Array actual of Numbers
String []ls=new String[n];// Array of Strings to maintain LIS for every element
for(int i=0;i<n;i++)
{
a[i]=Integer.parseInt(s1[i]);
}
int[]dp=new int[n];//Storing length of max subseq.
int max=dp[0]=1;//Defaults
String seq=ls[0]=s1[0];//Defaults
for(int i=1;i<n;i++)
{
dp[i]=1;
String x="";
for(int j=i-1;j>=0;j--)
{
//First check if number at index j is less than num at i.
// Second the length of that DP should be greater than dp[i]
// -1 since dp of previous could also be one. So we compare the dp[i] as empty initially
if(a[j]<a[i]&&dp[j]>dp[i]-1)
{
dp[i]=dp[j]+1;//Assigning temp length of LIS. There may come along a bigger LIS of a future a[j]
x=ls[j];//Assigning temp LIS of a[j]. Will append a[i] later on
}
}
x+=(" "+a[i]);
ls[i]=x;
if(dp[i]>max)
{
max=dp[i];
seq=ls[i];
}
}
System.out.println("Length of LIS is: " + max + "\nThe Sequence is: " + seq);
}
}
작동 코드 : http://ideone.com/sBiOQx
이것은 동적 프로그래밍을 사용하여 O (n ^ 2)에서 해결할 수 있습니다. 동일한 파이썬 코드는 다음과 같습니다.
def LIS(numlist):
LS = [1]
for i in range(1, len(numlist)):
LS.append(1)
for j in range(0, i):
if numlist[i] > numlist[j] and LS[i]<=LS[j]:
LS[i] = 1 + LS[j]
print LS
return max(LS)
numlist = map(int, raw_input().split(' '))
print LIS(numlist)
입력의 경우 :5 19 5 81 50 28 29 1 83 23
출력은 다음과 같습니다.[1, 2, 1, 3, 3, 3, 4, 1, 5, 3] 5
출력 목록의 list_index는 입력 목록의 list_index입니다. 출력 목록에서 주어진 list_index의 값은 해당 list_index에 대한 가장 긴 증가하는 서브 시퀀스 길이를 나타냅니다.
여기에 Java O (nlogn) 구현이 있습니다
import java.util.Scanner;
public class LongestIncreasingSeq {
private static int binarySearch(int table[],int a,int len){
int end = len-1;
int beg = 0;
int mid = 0;
int result = -1;
while(beg <= end){
mid = (end + beg) / 2;
if(table[mid] < a){
beg=mid+1;
result = mid;
}else if(table[mid] == a){
return len-1;
}else{
end = mid-1;
}
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
// int[] t = {1, 2, 5,9,16};
// System.out.println(binarySearch(t , 9, 5));
Scanner in = new Scanner(System.in);
int size = in.nextInt();//4;
int A[] = new int[size];
int table[] = new int[A.length];
int k = 0;
while(k<size){
A[k++] = in.nextInt();
if(k<size-1)
in.nextLine();
}
table[0] = A[0];
int len = 1;
for (int i = 1; i < A.length; i++) {
if(table[0] > A[i]){
table[0] = A[i];
}else if(table[len-1]<A[i]){
table[len++]=A[i];
}else{
table[binarySearch(table, A[i],len)+1] = A[i];
}
}
System.out.println(len);
}
}
이것은 O (n ^ 2)의 Java 구현입니다. 이진 검색을 사용하여 S에서 가장 작은 요소 인 X보다 큰 ==를 찾지 못했습니다. for 루프를 사용했습니다. 이진 검색을 사용하면 O (n logn)에서 복잡해집니다.
public static void olis(int[] seq){
int[] memo = new int[seq.length];
memo[0] = seq[0];
int pos = 0;
for (int i=1; i<seq.length; i++){
int x = seq[i];
if (memo[pos] < x){
pos++;
memo[pos] = x;
} else {
for(int j=0; j<=pos; j++){
if (memo[j] >= x){
memo[j] = x;
break;
}
}
}
//just to print every step
System.out.println(Arrays.toString(memo));
}
//the final array with the LIS
System.out.println(Arrays.toString(memo));
System.out.println("The length of lis is " + (pos + 1));
}
배열 요소를 사용하여 하위 시퀀스를 가장 길게 늘리려면 Java 코드를 확인하십시오.
/**
** Java Program to implement Longest Increasing Subsequence Algorithm
**/
import java.util.Scanner;
/** Class LongestIncreasingSubsequence **/
class LongestIncreasingSubsequence
{
/** function lis **/
public int[] lis(int[] X)
{
int n = X.length - 1;
int[] M = new int[n + 1];
int[] P = new int[n + 1];
int L = 0;
for (int i = 1; i < n + 1; i++)
{
int j = 0;
/** Linear search applied here. Binary Search can be applied too.
binary search for the largest positive j <= L such that
X[M[j]] < X[i] (or set j = 0 if no such value exists) **/
for (int pos = L ; pos >= 1; pos--)
{
if (X[M[pos]] < X[i])
{
j = pos;
break;
}
}
P[i] = M[j];
if (j == L || X[i] < X[M[j + 1]])
{
M[j + 1] = i;
L = Math.max(L,j + 1);
}
}
/** backtrack **/
int[] result = new int[L];
int pos = M[L];
for (int i = L - 1; i >= 0; i--)
{
result[i] = X[pos];
pos = P[pos];
}
return result;
}
/** Main Function **/
public static void main(String[] args)
{
Scanner scan = new Scanner(System.in);
System.out.println("Longest Increasing Subsequence Algorithm Test\n");
System.out.println("Enter number of elements");
int n = scan.nextInt();
int[] arr = new int[n + 1];
System.out.println("\nEnter "+ n +" elements");
for (int i = 1; i <= n; i++)
arr[i] = scan.nextInt();
LongestIncreasingSubsequence obj = new LongestIncreasingSubsequence();
int[] result = obj.lis(arr);
/** print result **/
System.out.print("\nLongest Increasing Subsequence : ");
for (int i = 0; i < result.length; i++)
System.out.print(result[i] +" ");
System.out.println();
}
}
이것은 동적 프로그래밍을 사용하여 O (n ^ 2)에서 해결할 수 있습니다.
입력 요소를 순서대로 처리하고 각 요소에 대한 튜플 목록을 유지하십시오. 요소 i에 대한 각각의 튜플 (A, B)은 A = i에서 끝나는 가장 긴 증가하는 서브 시퀀스의 길이를 나타내고 B = list [i에서 끝나는 가장 긴 증가하는 서브 시퀀스의리스트 [i]의 선행자 인덱스; ].
요소 1부터 시작하여 요소 1의 튜플 목록은 요소 i의 경우 [(1,0)]이되고 목록 0..i를 스캔하고 list [k] <list [i]와 같은 요소 목록 [k]을 찾습니다. 요소 i에 대한 A의 값, Ai는 Ak + 1이되고 Bi는 k가됩니다. 이러한 요소가 여러 개인 경우 요소 i의 튜플 목록에 추가하십시오.
결국, 최대 값이 A (요소에서 끝나는 LIS의 길이) 인 모든 요소를 찾은 다음 튜플을 사용하여 역 추적하여 목록을 가져옵니다.
http://www.edufyme.com/code/?id=66f041e16a60928b05a7e228a89c3799 에서 동일한 코드를 공유했습니다 .
O (n ^ 2) Java 구현 :
void LIS(int arr[]){
int maxCount[]=new int[arr.length];
int link[]=new int[arr.length];
int maxI=0;
link[0]=0;
maxCount[0]=0;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if(arr[j]<arr[i] && ((maxCount[j]+1)>maxCount[i])){
maxCount[i]=maxCount[j]+1;
link[i]=j;
if(maxCount[i]>maxCount[maxI]){
maxI=i;
}
}
}
}
for (int i = 0; i < link.length; i++) {
System.out.println(arr[i]+" "+link[i]);
}
print(arr,maxI,link);
}
void print(int arr[],int index,int link[]){
if(link[index]==index){
System.out.println(arr[index]+" ");
return;
}else{
print(arr, link[index], link);
System.out.println(arr[index]+" ");
}
}
def longestincrsub(arr1):
n=len(arr1)
l=[1]*n
for i in range(0,n):
for j in range(0,i) :
if arr1[j]<arr1[i] and l[i]<l[j] + 1:
l[i] =l[j] + 1
l.sort()
return l[-1]
arr1=[10,22,9,33,21,50,41,60]
a=longestincrsub(arr1)
print(a)
O (nlogn) 시간에 이것을 해결할 수있는 방법이 있지만 (O (n ^ 2) 시간에 해결됨) 여전히이 방법은 동적 프로그래밍 방식을 제공합니다.
이진 검색을 사용하는 Leetcode 솔루션은 다음과 같습니다.
class Solution:
def binary_search(self,s,x):
low=0
high=len(s)-1
flag=1
while low<=high:
mid=(high+low)//2
if s[mid]==x:
flag=0
break
elif s[mid]<x:
low=mid+1
else:
high=mid-1
if flag:
s[low]=x
return s
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
if not nums:
return 0
s=[]
s.append(nums[0])
for i in range(1,len(nums)):
if s[-1]<nums[i]:
s.append(nums[i])
else:
s=self.binary_search(s,nums[i])
return len(s)
O (nlog (n)) 시간 복잡성을 가진 C ++에서 가장 간단한 LIS 솔루션
#include <iostream>
#include "vector"
using namespace std;
// binary search (If value not found then it will return the index where the value should be inserted)
int ceilBinarySearch(vector<int> &a,int beg,int end,int value)
{
if(beg<=end)
{
int mid = (beg+end)/2;
if(a[mid] == value)
return mid;
else if(value < a[mid])
return ceilBinarySearch(a,beg,mid-1,value);
else
return ceilBinarySearch(a,mid+1,end,value);
return 0;
}
return beg;
}
int lis(vector<int> arr)
{
vector<int> dp(arr.size(),0);
int len = 0;
for(int i = 0;i<arr.size();i++)
{
int j = ceilBinarySearch(dp,0,len-1,arr[i]);
dp[j] = arr[i];
if(j == len)
len++;
}
return len;
}
int main()
{
vector<int> arr {2, 5,-1,0,6,1,2};
cout<<lis(arr);
return 0;
}
출력 :
4
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